作者｜大雁

2020年7月23日，我国第一颗行星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场发射升空，它就像一名刚被录取的大学新生在父母的注目下离开家乡一样，启程前往火星。大约6个半月以后，“天问一号”抵达了火星轨道，并与火星相遇，在我国农历牛年春节的前夕进入了环绕火星的轨道，算是给全国人民“拜了个早年”。随后，“天问一号”又在春节期间玩了一个漂亮的“侧空翻”，由火星赤道轨道进入了极轨轨道，给全国人民献上了一场“太空杂耍”。“天问一号”目前在环绕火星的极轨轨道上一边探测和“感受”那里的磁场、等离子体环境，一边仔细朝火星表面“观察地形”，为它的下一个节目——“祝融号”火星车在火星表面着陆做准备。

图1. 武术队员表演侧空翻。（图片来源：少林塔沟武术学校）

火星是太阳系从内到外的第四颗行星，主要由岩石组成，属于类地行星。火星围绕太阳公转一圈需要大约687天，自转一圈需要24小时40分钟。当火星和地球转到太阳的同一侧时相距最近，最近距离只有5500万公里，大约相当于太阳到地球距离的三分之一。在日常生活中，如果我们想去一个地点，往往走一条最近的直线道路。射击瞄准时，依据的是三点一线；飞碟射击时，要根据目标的运动方向和快慢，瞄准目标前面一点的位置射击，这样才能击中目标。当我们从地球前往火星，或者从火星返回地球，是不是也要像飞碟射击那样瞄准呢？应该走一条什么样的路线呢？是不是也要等到火星距离我们最近的时候出发呢？回答这些问题，还要从开普勒定律说起。

图2. 运动员进行飞碟射击。（图片来源于网络）

德国天文学家约翰尼斯·开普勒，出生于1571年12月27日。从小就喜欢天文的他，生活在一个地心说和日心说激荡并存的时代。波兰天文学家尼古拉·哥白尼在1543年提出了日心说，然而遭到教会、大学机构甚至天文学家的嘲讽。那个年代，能够以观测事实为依据睁眼看天空，并且认真考量地球在宇宙中位置的，只有善于观察并且善于思考的少数人。开普勒就是这少数人中的一个。他曾师从丹麦天文学家第谷·布拉赫，分析火星的运行规律，第谷为开普勒提供了临时岗位和资助。但是第谷是个脾气暴躁又极其傲慢的人，他仅允许开普勒有限地接触他的观测数据，并且禁止开普勒拷贝数据作为己用。直到1601年10月24日第谷意外死亡，开普勒被任命为第谷的继任者，他才有机会全面接触第谷的观测资料，并在认真分析这些观测数据的基础上提出了开普勒定律。开普勒定律有三条内容：第一，所有行星都绕着太阳运转，行星运转的轨道为椭圆，太阳是椭圆的一个焦点，这就是作为开普勒第一定律的 “椭圆定律”；第二，行星在椭圆上运行时，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，这就是作为开普勒第二定律的“面积定律”；第三，行星沿椭圆轨道运行一周所需时间的平方，与椭圆轨道长半轴的立方成正比，也就是说，椭圆长半轴增加到原来的2倍，则行星公转周期增加到原来的大约2.8倍，这就是作为开普勒第三定律的“周期定律”。

图3. 把一个圆拉伸成一个椭圆。长轴2a，焦距2c，短轴2b。其中b=√a²-c²，偏心率e=c/a。

现在我们在开普勒定律的基础上考虑通往火星的路线。开普勒第一定律提到的椭圆，是把一个正圆沿着其中一个直径拉长，使它变扁而成为椭圆形状，拉长以后的直径就是长轴，它的一半就是长半轴a。这个过程中，正圆的圆心可以看作重合在一起的两个点，拉长以后就分成两个点，也就是椭圆的两个焦点，它们之间的距离就是焦距，它的一半就是半焦距c。半焦距与长半轴的比值c/a，就是椭圆偏心率e。偏心率越大，表明椭圆被拉伸得越扁长，正圆的偏心率为0。地球围绕太阳公转的轨道是一个偏心率为0.0167的椭圆，画在纸上，肉眼几乎无法区分是椭圆还是正圆。火星的公转轨道偏心率略大，大约为0.09。但我们近似地把地球和火星的公转轨道都当作正圆来考虑。我们把地球到太阳的平均距离作为一个单位，称为天文单位，也就是地球轨道的半径为1，火星到太阳的平均距离大约是地球到太阳平均距离的1.5倍，也就是说，火星轨道的半径为1.5。探测器要想从地球飞往火星，首先要脱离地球引力，也就是飞行速度要超过地球的第二宇宙速度11.2千米/秒。此时探测器将不再是围绕地球飞行的卫星，而是成为和地球、火星一样围绕太阳运行的人造行星。按照开普勒第一定律，探测器要沿着椭圆轨道飞向火星。这和我们射击瞄准时的“三点一线”不同，和飞碟射击时 “前置瞄准”也不同，而必须要遵循开普勒第一定律，走一条椭圆形的路线。那么怎么确定这个椭圆的形状呢？首先，太阳是这个椭圆的一个焦点。椭圆的一端与火星轨道相连接，最节省距离的选择就是相切。另一端与地球轨道相连接，同样也应该选择相切。与地球轨道相切的位置，就是出发的位置；与火星轨道相切的位置，就是到达的位置。也就是说，火星到太阳的距离再加上地球到太阳的距离（1+1.5=2.5）就是椭圆的长轴2a，那么长半轴a就是1.25。长半轴与半焦距的差a-c，就是地球到太阳的距离1，从而半焦距c应为0.25。这样，这个椭圆的形状就确定了，探测器沿着这个椭圆的运行周期也就确定了。根据开普勒第三定律，可以计算出这个椭圆轨道的运行周期约为1.42年，约合518天。当然，实际的轨道计算要求非常精确。

图4.通往火星的路线。

符合上述推算条件的椭圆有很多，我们该选择哪个椭圆作为探测器的轨道呢？这还要根据地球和火星的位置关系来确定。探测器要从地球出发，出发的位置就是椭圆轨道的近日点，到达火星轨道的位置是椭圆轨道的远日点，探测器需要在远日点恰好与火星相遇。这个时间应该等于椭圆轨道周期的一半，也就是0.71年，约合259天。探测器沿椭圆轨道从地球轨道到达火星轨道的时间里，探测器与太阳连线扫过了180°角，火星与太阳连线扫过了136°角，二者在椭圆轨道远日点相遇。这样，在出发时，火星应该在地球的前面大约44°角的位置。确定了火星与地球的位置关系，也就可以确定应该选择哪个椭圆轨道作为前往火星的路线了。当然，这些位置关系的计算是在忽略火星轨道和地球轨道偏心率的假设之上得出的，与实际情况会有一些差异，因此实际的轨道计算要使用更加复杂、更加精确的方法计算。关于火星超前地球44 °角的位置关系，也会随着这两颗行星实际轨道演化的情况而有所不同。

按照上述方法推算的路线，探测器应该沿着图中的黄色椭圆的上半部分前往火星，在远日点到达火星轨道，此时火星也恰好运行到同一个位置，与探测器相遇。如果此时探测器启动发动机进行减速，探测器就会被火星引力俘获，从而沿着一个围绕火星的椭圆轨道运行，成为火星的卫星。这个黄色的椭圆轨道，就是霍曼转移轨道，是1925年由德国物理学家瓦尔特·霍曼首先提出并以他的名字命名的。这种转移轨道只需要发射时将探测器推进到超过地球的第二宇宙速度，到达火星时减速到环绕火星轨道的速度，中间不需要燃料推进和减速，是最节省燃料的路线。人类探测火星，目前只有单程操作，探测器去了火星就不再返回。以后要建设火星基地，载人登陆火星，甚至有常住人口往返地球和火星之间，就要考虑返回的路线。其实，从上面的描述中很容易看到，要从火星返回地球，只需要在火星上发射探测器，达到火星的第二宇宙速度——大约5千米/秒，脱离火星引力，沿着黄色椭圆轨道的下半部分返回地球即可。当然，还要计算地球和火星的位置，使探测器在黄色椭圆轨道的近日点恰好与地球相遇。

霍曼轨道虽然最节省燃料，却不能最节省时间。因为它要经历半个椭圆，一旦位置和路线确定，就必须要完成这半个椭圆的路程才能与火星相遇。如果在出发时探测器的入轨速度稍大一点，根据探测器的动能和引力势能守恒的原理，探测器的远日点将更远一点，远日点越过了火星轨道，从而使探测器沿着途中黑色的椭圆轨道运行，在到达远日点之前与火星轨道提前交汇。如果合适选择出发时间，使火星此时也恰好运行到这个位置，那么探测器就提前与火星相遇，并进入环绕火星的轨道。由开普勒第二定律，这段路程探测器到太阳距离较小，单位时间扫过的角度大，运行速度快，从而更节省时间。因此如果想节省时间，也可以沿着黑色虚线轨道前往火星，前提是首先计算好地球与火星的位置，使探测器恰好在交汇点与火星相遇。返回地球的时候也是一样的。

事实上，按照更加复杂精确的计算方法中推算发射窗口前后大约有20天。我国的“天问一号”探测器从发射到到达，历经202天，比霍曼轨道的259天要缩短了不少时间。按照出发时和到达时地球、火星和太阳的位置关系推算，“天问一号”应该是沿着黑色虚线椭圆轨道运行的，而且中间历经4次轨道修正，为的是确保探测器可靠地与火星轨道交汇，准确地与火星相遇，在此基础上，才能在2021年2月10日19时52分到达火星附近时刹车减速，从而被火星引力俘获并进入环绕火星的轨道，然后才有了温馨的“拜大年”、精彩的太空杂技“侧空翻”，以及令人期待的“祝融号”着陆大戏了。

因此，通向火星的路，不像我们射击时按照“三点一线”来瞄准，也不像飞碟射击时“前置瞄准”，而是必须遵循开普勒定律，沿着椭圆形的霍曼轨道飞向火星。如果说“瞄准”，也是选择地球在火星之后一定角度时发射。这背后起作用的就是开普勒定律，或者说在它基础上发展的万有引力定律。现在，我们的“天问一号”正在环绕火星的极轨轨道上往火星表面俯瞰，利用高、中分辨率相机“观察地形”，为“祝融号”小车选择合适的着陆地点。地球上的小伙伴们，也都翘首期待着这场着陆大戏了。

- 作者信息 -大雁，有情怀的空间物理学博士，关注科普的一线科学家。